分式的定义

    1、分式的概念

    一般地，如果$A$，$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。分式$\frac{A}{B}$中，$A$叫做分子，$B$叫做分母。

    2、分式有意义的条件

    分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0。即当$B≠0$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义。

    3、分式的值为0的条件

    当分式的分子等于0，且分母不等于0时，分式的值为0，即当$A=0$，且$B≠0$时，分式$\frac{A}{B}=0$。

    4、分式的基本性质

    （1）分式的基本性质

    分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

    即$\frac{A}{B}=\frac{A·C}{B·C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}$$(C≠0)$，其中$A$，$B$，$C$是整式。

    （2）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

    （3）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数约去它们的最大公约数，如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。

    （4）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。

    （5）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

    （6）通分法则：把两个或者几个分式通分，① 先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂与所有不同因式的积）。② 再利用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式。③ 若分母是多项式，则先分解因式，再通分。

    （7）最简公分母：各分式分母的所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。

    确定分式的最简公分母的步骤：

    ① 取各分式的分母中系数的最小公倍数。

    ② 各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到。

    ③ 相同字母（或因式）的幂取指数最大的。

    ④ 所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母。

    5、分式的乘除

    （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

    用式子表示为$\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{a·c}{b·d}$。

    （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

    用式子表示为$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}=\frac{a·d}{b·c}$。

    （3）乘方法则：一般地，当$n$是正整数时，

    $\left(\displaystyle{}\frac{a}{b}\right)^n=$$\begin{matrix} \underbrace{\displaystyle{}\frac{a}{b}·\frac{a}{b}·\cdots·\frac{a}{b} }\\n个 \end{matrix}=$$\begin{matrix}n个\\ \overbrace{\begin{matrix} \underbrace{\displaystyle{}\frac{a·a·\cdots·a}{b·b·\cdots·b}} \\n个\\ \\ \end{matrix}} \end{matrix}=$$\displaystyle{}\frac{a^n}{b^n}$，即$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$。

    即分式乘方要把分子、分母分别乘方。

    6、分式的加减

    类似分数的加减，分式的加减法则是

    （1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

    即：$\frac{a}{c}±\frac{b}{c}=\frac{a±b}{c}$。

    （2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

    即：$\frac{a}{b}±\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}±\frac{bc}{bd}=\frac{ad±bc}{bd}$。