扇形弧长公式l=αr
来源： 作者：王教员 发布时间：2025-12-29 08:16:55 点击量：40
l=αr是弧度制下的扇形弧长公式，我会帮你理清这个公式的含义、推导、适用条件，以及和角度制公式的区别：
一、公式的核心含义
这个公式里的每个符号都有明确的定义，必须在弧度制下才成立：
l：扇形的弧长
α：扇形的圆心角弧度值（注意是弧度，不是角度）
r：扇形所在圆的半径
举个例子：如果一个扇形的半径r=5cm，圆心角α=0.8弧度，那么弧长l=0.8×5=4cm
二、公式的推导（理解为什么是这个形式）
先回忆圆的周长公式：整个圆的周长是C=2πr，对应的圆心角是2π弧度（整个圆的圆心角就是 360°，转换成弧度是 2π）
扇形的弧长是圆周长的一部分，占比等于圆心角占整个圆的比例：(frac{l}{2πr} = frac{α}{2π})
两边约掉2π，就可以得到 l=αr
三、和角度制弧长公式的转换
如果已知的圆心角是角度制（°），需要先把角度转换成弧度，或者直接使用角度制的弧长公式：
角度转弧度的公式：α(弧度) = θ(角度) × π/180
代入l=αr后，角度制的弧长公式为：(l = frac{θπr}{180})（θ 是圆心角的角度值）
举个例子：如果圆心角是 60°，半径 r=6cm
方法 1：先转弧度：α=60×π/180=π/3，弧长l=π/3 ×6=2π cm
方法 2：直接用角度制公式：l=60×π×6 /180=2π cm，结果一致
四、使用这个公式的注意事项
必须是弧度制：如果把角度直接代入l=αr，结果会完全错误，比如把 60° 直接代入，会得到l=60×6=360cm，这明显不对
圆心角α的范围：扇形的圆心角α的范围是0 < α < 2π（大于 0，小于整个圆的圆心角）
和扇形面积公式的联动：弧度制下的扇形面积公式是S=1/2 αr²，也可以结合弧长公式写成S=1/2 lr，可以和弧长公式一起记忆
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2018.9～2019.1，辅导高三学生英语，成绩从90分左右提高到120分以上。2019.3～2020.6，辅导初三学生政治，最终
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